Question

8．设函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{6}$x³+$\frac{sinθ}{4}$x²+$\frac{1}{tanθ}$，其中θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），则导数f′（1）的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，1]
• B． （-$\frac{1}{2}$，1）
• C． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 求导，当x=1时，f′（1）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{2}$+$\frac{sinθ}{2}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$），由θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），即可求得θ+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．

解答 解：f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{6}$x³+$\frac{sinθ}{4}$x²+$\frac{1}{tanθ}$，f′（x）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{2}$x²+$\frac{sinθ}{2}$x，
f′（1）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{2}$+$\frac{sinθ}{2}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$），
由θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），则θ+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
则sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴导数f′（1）的取值范围（-$\frac{1}{2}$，1]，
故选A．

点评 本题考查导数的运算，考查辅助角公式的应用，正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．