Question

10．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}m{x^3}+\frac{1}{2}n{x^2}+x+2017$，其中m∈{2，4，6，8}，n∈{1，3，5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是（　　）

• A． $\frac{7}{120}$
• B． $\frac{7}{60}$
• C． $\frac{7}{30}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意列举斜率相等的情况，得到共有多少组，求得总的基本事件，由古典概率的计算公式即可得到所求值．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{3}m{x^3}+\frac{1}{2}n{x^2}+x+2017$，
导数为f′（x）=mx²+nx+1，
可得在（1，f（1））处的切线斜率为m+n+1．
则切线相互平行即有斜率相等，
即有（m，n）为（2，7），（8，1），（4，5），（6，3），（2，5），（4，3），（6，1），
（2，3），（4，1），（4，7），（6，5），（8，3），（8，5），（6，7）
共${C}_{4}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+1+${C}_{3}^{2}$+1=6+3+1+3+1=14组，
总共有${C}_{16}^{2}$=120组，
则它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是$\frac{14}{120}$=$\frac{7}{60}$．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及古典概率的求法，注意运用列举法是解题的关键，属于中档题．