Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0
（Ⅰ）求角C的大小．
（Ⅱ）若c=6，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理将（2a+b）cosC+ccosB=0化简，可得角C的大小．c=6，利用余弦定理，构造基本不等式，即可求解△ABC面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）根据（2a+b）cosC+ccosB=0，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0．
即2sinAcosC=-sinA，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$
∵0＜C＜π
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵c=6，C=$\frac{2π}{3}$．
由余弦定理：可得${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2abcos\frac{2π}{3}$
即36=a²+b²+ab，
∵a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时取等号）
∴3ab≤36，即ab≤12．
故得△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC$≤\frac{1}{2}×12×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$．
即△ABC面积的最大值为$3\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的化简计算能力，和基本不等式求最值的运用．属于基础题．