Question

2．已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若c-a=2acosB，则$\frac{si{n}^{2}A}{sin（B-A）}$的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sin（B-A）=sinA，由A，B为锐角，可得B=2A，解得A的范围，可得求sinA∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），化简所求即可得解．

解答 解：∵c-a=2acosB，
∴由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinB-sinAcosB=sinA，即：sin（B-A）=sinA，
∵A，B为锐角，可得：B-A=A，可得：B=2A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），
又∵C=π-3A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
∴综上，可得A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），可得：sinA∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{si{n}^{2}A}{sin（B-A）}$=sinA∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．