Question

20．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于-0.5．

Answer 1

分析 根据题意，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（-0.5）]=-f（-0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=-f（-0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，由于f（x+2）=-f（x），则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，
则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），
又由f（x+2）=-f（x），则有f（1.5）=f[2+（-0.5）]=-f（-0.5），
又由函数为奇函数，则f（0.5）=-f（-0.5），
又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；
则有f（37.5）=f（1.5）=-f（-0.5）=f（0.5）=0.5，
故f（37.5）=0.5；
故答案为：0.5．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数的周期性的应用，关键是求出函数f（x）的周期．