Question

20．试求出函数y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的单调递增区间和最大值．

Answer 1

分析 由二倍角公式得到y=sin（2x+$\frac{π}{4}$），由此能求出函数y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的单调递增区间和最大值．

解答 解：y=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的单调递增区间满足：
-$\frac{π}{2}+2kπ$$≤2x+\frac{π}{4}≤$$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{3}{8}π+kπ$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$，
∴函数y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的单调递增区间为[-$\frac{3}{8}π+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z；
函数y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的最大值为1．

点评 本题考查函数的单调增区间和最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．