Question

9．已知二次函数f（x）=ax²-2ax+2+b在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若b＞1，g（x）=f（x）+mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的对称轴x=1，故f（x）在[2，3]上单调，列出方程组解出a，b；
（2）求出g（x）的解析式，对称轴，根据单调性得出对称轴与区间[2，4]的关系，解出m．

解答 解：（1）f（x）的对称轴为x=1，
①若a＞0，则f（x）在[2，3]上是增函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2+b=2}\\{f（3）=3a+2+b=5}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
②若a＜0，则f（x）在[2，3]上是减函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2+b=5}\\{f（3）=3a+2+b=2}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=3．
∴f（x）=x²-2x+2或f（x）=-x²+2x+5．
（2）∵b＞1，∴f（x）=-x²+2x+5．∴g（x）=-x²+（m+2）x+5．∴g（x）的对称轴为x=$\frac{m+2}{2}$．
∵g（x）在[2，4]上为单调函数，∴$\frac{m+2}{2}$≤2或$\frac{m+2}{2}$≥4，解得m≤2或m≥6．
∴实数m的取值范围是（-∞，2]∪[6，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，是基础题．