Question

8．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为l的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，且以焦点为圆心，与渐近线相切的圆的面积为π，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出直线l和两个渐近线的交点，进而根据$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，求得a和b的关系，根据c²-a²=b²，求得a和c的关系，则离心率可得．

解答 解：直线l：y=x+a与渐近线l₁：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，$\frac{ab}{b-a}$），
l与渐近线l₂：bx+ay=0交于C（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$，-$\frac{ab}{b+a}$），
∵A（a，0），$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴2×$\frac{{a}^{2}}{b-a}$=-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$+a
∴2a²-b²+3ab=0，
∵以焦点为圆心，与渐近线相切的圆的面积为π，
∴$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1，
∴b=1，
故选：C．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．