Question

9．如图，在平面α内有一条线段AB，分别过A，B作平面α的垂线段AC，BD（在平面α的同一侧），且AC=2BD，连接CD，过B作AB的垂线BE．
（Ⅰ）求证：BE⊥CD；
（Ⅱ）若AB=BE=2，CE=4，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出BD⊥BE，BE⊥AB，从而BE⊥平面ABDC，由此能证明BE⊥CD．
（Ⅱ）以B为原点，BE为x轴，BA为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在平面α内有一条线段AB，分别过A，B作平面α的垂线段AC，BD（在平面α的同一侧），
∴BD⊥BE，
∵过B作AB的垂线BE，∴BE⊥AB，
又AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABDC，
∵CD?平面ABDC，∴BE⊥CD．
解：（Ⅱ）以B为原点，BE为x轴，BA为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BE=2，CE=4，AC=2BD，
∴AE=$\sqrt{4+4}$=$2\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，DB=$\sqrt{2}$，
A（0，2，0），E（2，0，0），C（0，2，2$\sqrt{2}$），D（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（2，-2，0），
设平面DCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
设直线AE与平面CDE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．