Question

13．（1）设z=a+bi（a，b∈R），求证：$\frac{z-1}{z+1}$为实数的充要条件是b=0．
（2）证明：当a＞1时，$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则即可证明；
（2）利用分析法与不等式的性质即可证明．

解答 证明：（1）$\frac{z-1}{z+1}$=$\frac{a+bi-1}{a+bi+1}$=$\frac{[a-1+bi][（a+1）-bi]}{（a+1+bi）（a+1-bi）}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-1+2bi}{（a+1）^{2}+{b}^{2}}$为实数?$\frac{2b}{（a+1）^{2}+{b}^{2}}$=0?b=0．
（2）当a＞1时，$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$?$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$?$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}$，而分母0＜$\sqrt{a}+\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a}+\sqrt{a+1}$，因此成立．

点评 本题考查了复数的运算法则、分析法与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．