Question

设函数f（x）=

ex

ex

+3，g（x）=-2x²+ax-lnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数g（x）在区间（

1

4

，2）上不单调，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，e），都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得f（x）=g（x₀）+2x₀²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由函数g（x）在区间（

1

4

，2）上不单调且g′(x)=

-4x2+ax-1

x

知，-4x²+ax-1=0区间(

1

4

，2)上有两不等实根或有一根，即a=4x+

1

x

区间(

1

4

，2)上有两不等实根或有一根，再研究函数ϕ(x)=4x+

1

x

，x∈(

1

4

，2)即可．
（Ⅱ）对f（x）求导，计算其值域为（3，4]，令h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），则问题转化为：?m∈（3，4]，存在唯一的x0∈[e-4，e]，使得h（x₀）=m成立．再对h（x）求导，h′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，x∈[e-4，e]，分为a≤

1

e

，a≥e⁴和

1

e

＜a＜e4三种情况分别讨论，从而进一步求解．

解答： 解：（1）∵g′(x)=

-4x2+ax-1

x

且g（x）在区间(

1

4

，2)上不单调，∴-4x²+ax-1=0区间(

1

4

，2)上有两不等实根或有一根，
即a=4x+

1

x

区间(

1

4

，2)上有两不等实根或有一根，
令ϕ(x)=4x+

1

x

，ϕ（x）在区间(

1

4

，

1

2

)上单调递减，在区间(

1

2

，2)上单调递增，∵ϕ(

1

4

)=5，ϕ(2)=

17

2

，ϕ(

1

2

)=4，∴a的取值范围是(4，

17

2

)．
（Ⅱ）∵f′（x）=e^1-x（1-x），
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
又f（0）=3，f（1）=4，f（e）=e^2-e+3＞3，
∴f（x）的值域为（3，4]，
记h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），
原问题等价于：?m∈（3，4]，存在唯一的x0∈[e-4，e]，使得h（x₀）=m成立．∵h′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，x∈[e-4，e]
①当a≤

1

e

时，h′（x）≤0恒成立，h（x）单调递减，由h(x)max=h(e-4)=ae-4+4≥4，h（x）_min=h（e）=ae-1≤3，解得：0≤a≤

1

e

．
②当a≥e⁴时，h′（x）≥0恒成立，h（x）单调递增，h(x)min=h(e-4)=ae-4+4＞4，不合题意，舍去
③当

1

e

＜a＜e4时，h（x）在[e-4，

1

a

]上单调递减，在[

1

a

，e]上单调递增，
且h（e^-4）=ae^-4+4＞4，h（e）=ae-1，
要满足条件则ae-1≤3，∴

1

e

＜a≤

4

e

．
综上所述：a的取值范围是[0，

4

e

]．

点评：本题的第一小问中，也可以用以下思路：假设g（x）在(

1

4

，2)上单调，则g′(x)=

-4x2+ax-1

x

≥0或g′(x)=

-4x2+ax-1

x

≤0恒成立，注意到x的范围，x＞0，即只需-4x²+ax-1≥0或-4x²+ax-1≤0对x∈(

1

4

，

1

2

)恒成立，求解出a的范围，再取其补集即可．问题二的解答再次提醒广大考生“转化”思想的重要性，将问题逐步转化，使我们的问题逐步明朗化，从而寻求解决方法．