Question

在△ABC中，若∠A，∠B，∠C成等差，且2b²=3ac，求角A．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：由题设条件，可先由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得到B=

π

3

，及A+C=

2π

3

，再由正弦定理将条件2b²=3ac转化为角的正弦的关系，结合cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC求得cosAcosC=0，从而解出A．

解答： 解：由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得：B=

π

3

，
故有：A+C=

2π

3

，
由2b²=3ac得：2sin²B=3sinAsinC=

3

2

，
所以：sinAsinC=

1

2

，
所以：cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=cosAcosC-

1

2

即cosAcosC-

1

2

=-

1

2

，可得cosAcosC=0，
所以cosA=0或cosC=0，即A是直角或C是直角，
所以A是直角，或A=

π

6

点评：本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性，属于中档题．