Question

P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁对角线BD₁上的一点，且BP=λBD₁（λ∈（0，1）．下面结论：
①AD₁⊥C₁P；
②若BD₁⊥平面PAC，则λ=

1

3

；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，

1

2

）；
④若λ∈（

2

3

，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：用空间向量求直线间的夹角、距离,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：画出图形，直接判断①AD₁⊥C₁P的正误；
利用正方体的特征，判断②若BD₁⊥平面PAC，则λ=

1

3

，的正误；
通过λ=

1

2

，判断△PAC是否为钝角三角形，判断λ∈（0，

1

2

）的正误；
通过建立空间直角坐标系，判断④若λ∈（

2

3

，1），则△PAC为锐角三角形，判断④的正误．

解答： 解：如图①中，AD₁与C₁P是共面直线，是相交直线，∴①不正确；
对于②若BD₁⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB₁C中，则λ=

1

3

；②正确；
对于③，当P为BD₁的中点时，若△PAC为钝角三角形，PA=PC=

3

2

a，AC=

2

a，此时∠APC=120°，∴则λ∈（0，

1

2

）不正确；
对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A₁（3，0，3），B₁（3，3，3），C₁（0，3，3），D₁（0，0，3），
∴

BD1

=（-3，-3，3），设P（x，y，z），∵

BP

=

2 3 BD1

=（-2，-2，2），∴

DP

=

DB

+（-2，-2，2）=（1，1，2）．

AP

=

AD

+

DP

=（-2，1，2），

CP

=（1，-2，2）∴cos∠APC=

AP • CP

| AP || CP |

=0，∠APC=90°．
若λ∈（

2

3

，1），则△PAC为锐角三角形．正确，
故答案为：②④

点评：本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．