Question

如图1，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁F₂，左、右顶点分别为A₁，A₂，T（1，

3

2

）为椭圆上一点，且TF₂垂直于x轴．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）给出命题：“已知P是椭圆E上异于A₁，A₂的一点，直线 A₁P，A₂P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上．若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明；
（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤．注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据T（1，

3

2

）为椭圆上一点，且TF₂垂直于x轴，求出c，利用椭圆的定义，求出a，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）逆命题为真命题．设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），求出A₁P，A₂P的方程，可得M，N的坐标，进而可得Q的坐标，求出PQ的方程，代入椭圆方程，求出△=0，即可得出结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ），可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵T（1，

3

2

）为椭圆上一点，且TF₂垂直于x轴，
∴c=1，
在Rt△TF₁F₂，|TF₂|=

3

2

，|F₁F₂|=2，∴|TF₁|=

5

2

，
∴2a=|TF₁|+|TF₂|=4，
∴a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）逆命题：“已知P是椭圆E上异于A₁，A₂的一点，直线 A₁P，A₂P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上．若Q为线段MN的中点，则直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P”，为真命题．
证明如下：设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），则

x02

4

+

y02

3

=1，
l_A1P：y=

y0

x0+2

（x+2）；l_A2P：y=

y0

x0-2

（x-2），
∴M（t，

y0(t+2)

x0+2

），N（t，

y0(t-2)

x0-2

），
设MN的中点为Q（x₁，y₁），则x₁=t，y₁=

y0(x0t-4)

x02-4

，
∵x02-4=

-4y02

3

，
∴y₁=

y0(x0t-4)

x02-4

=

-3(x0t-4)

4y0

，
∴Q（t，

-3(x0t-4)

4y0

），
∴k_PQ=

-3(x0t-4) 4y0 -y0

t-x0

=

-3x0

4y0

，
∴PQ的方程为y=

-3x0

4y0

（x-x₀）+y₀，即y=

-3x0

4y0

x+

3

y0

代入椭圆方程，消去y可得

3

4y02

x²-

3x0

2y02

x+

3

y02

-1=0，
∴△=（

3x0

2y02

）2-4•

3

4y02

•（

3

y02

-1）=

9x02+12y02-36

4y04

=0，
∴直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P；
（Ⅲ）如图，①任作一条不过点S的直线n垂直于双曲线的实轴；②作直线A₁S，A₂S分别交直线n于I，J两点；③作线段IJ的中点V，连接SV，则直线SV即为所求的直线m．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．