为了培养学生的数学建模和应用能力.某校组织了一次实地测量活动.如图.假设待测量的树木AE的高度H(m).垂直放置的标杆BC的高度h=4m.仰角∠ABE=α.∠ADE=β.试根据上述测量方案.回答如下问题:(1)若测得α=60°.β=30°.试求H的值,(2)经过分析若干次测得的数据后.大家一致认为适当调整标杆到树木的距离d.使α与β之差较大时.可以提高测量精确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木AE的高度H（m），垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题：
（1）若测得α=60°、β=30°，试求H的值；
（2）经过分析若干次测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离d（单位：m），使α与β之差较大时，可以提高测量精确度．
若树木的实际高度为8m，试问d为多少时，α-β最大？

分析（1）在Rt△ABE中可得AD=$\frac{H}{tanβ}$，在Rt△ADE中可得AB=$\frac{H}{tanα}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，再根据AD-AB=DB即可得到H．
（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α-β），整理成基本不等式的形式，再根据基本不等式可求得tan（α-β）有最大值即α-β有最大值，得到答案．

解答解：（1）在Rt△ABE中可得AD=$\frac{H}{tanβ}$，
在Rt△ADE中可得AB=$\frac{H}{tanα}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，
由AD-AB=DB，故得$\frac{H}{tanβ}-\frac{H}{tanα}=\frac{h}{tanβ}$，
得：H=$\frac{htanα}{tanα-tanβ}$=$\frac{4×\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=6．
因此，算出的树木的高度H是6m．
（2）由题设知d=AB，得tanα=$\frac{H}{d}$，tanβ=$\frac{H}{AD}$=$\frac{h}{BD}$=$\frac{H-h}{d}$，
tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{H}{d}-\frac{H-h}{d}}{1+\frac{H}{d}•\frac{H-h}{d}}$=$\frac{hd}{{d}^{2}+H（H-h）}$=$\frac{h}{d+\frac{H（H-h）}{d}}$
$≤\frac{h}{2\sqrt{d•\frac{H（H-h）}{d}}}$=$\frac{h}{2\sqrt{H（H-h）}}$，（当且仅当d=$\sqrt{H（H-h）}$）时，取等号）
故当H=8时，d=4$\sqrt{2}$，tan（α-β）最大．
因为0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，则0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，所以当d=4$\sqrt{2}$时，α-β最大．

点评本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．