Question

7．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P-ABC的体积为2$\sqrt{3}$，则球O的表面积为20π．

Answer 1

分析 由三棱锥P-ABC的体积为2$\sqrt{3}$，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC的体积为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}PA$=2$\sqrt{3}$，
∴PA=2，
将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
∵△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC外接圆的半径r=2，
∴球的半径为$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴球O的表面积为4π×5=20π．
故答案为：20π

点评 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．