Question

设函数．
（1）在区间上画出函数的图象 ；
（2）设集合. 试判断集合和之间
的关系，并给出证明 ；
（3）当时，求证：在区间上，的图象位于函数图象的上方．
   

Answer 1

(1)见解析；（2）；（3）见解析.

试题分析：（1）画出在上的图象，然后将轴下方的翻到上方即可；（2）结合图象，求出集合，则其与的关系一面了然；（3）只需证明当时在区间上恒成立.
试题解析：（1）函数在区间上画出的图象如下图所示：

（2）方程的解分别是和，
由于在和上单调递减，在和上单调递增，
因此.                              6分
由于.                                   8分
（3）解法一：当时，.
设 , 9分
. 又，
① 当，即时，取， .
， 则.               11分
② 当，即时，取，＝.
由 ①、②可知，当时，，.                           12分
因此，在区间上，的图象位于函数图象的上方.           13分
解法二：当时，.
由 得，
令 ，解得 或，                         10分
在区间上，当时，的图象与函数的图象只交于一点；
当时，的图象与函数的图象没有交点.    11分
如图可知，由于直线过点，
当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.
因此，在区间上，的图象位于函数图象的上方.      13分