题目内容

对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足:
内是单调函数;②当定义域是值域也是,则称是函数
的“好区间”.
(1)设(其中),判断是否存在“好区间”,并
说明理由;
(2)已知函数有“好区间”,当变化时,求的最大值.
(1)不存在“好区间”;(2)的最大值为.

试题分析:(1)先求出的定义域.可知要对分情况讨论,当时,定义域内是增函数;当时,定义域内还是增函数.从而得出,即方程在定义域内有两个不等的实数根,即在定义域内有两个不等的实数根.再用换元法,设,则相当于两个不等的实数根,即内有两个不等的实数根,通过研究二次函数,发现内有两个不等的实数根无解,所以函数不存在“好区间”;(2)函数有“好区间”,由于定义域为,易知函数上单调递增,,所以是方程,即方程有同号的相异实数根,然后再用判别式求出的范围,再用韦达定理用表示出,结合的范围即可求出的最大值.
试题解析:(1)由.              2分
①当时,,此时定义域



内是增函数;              4分
②当时,,此时定义域
同理可证内是增函数;              6分
存在“好区间”
关于的方程在定义域内有两个不等的实数根.
在定义域内有两个不等的实数根.(*)
,则(*)
内有两个不等的实数根,
,则无解.
所以函数不存在“好区间”.               8分
(2)由题设,函数有“好区间”
,函数上单调递增,
,所以是方程,即方程有同号的相异实数根. 12分
同号,.
,.
取得最大值.              16分
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