Question

已知函数f（x）=

x2

ax+b

（a，b为常数）且方程f（x）-x-6=0有两个实根x₁=2，x₂=3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设k＞

1

2

，解关于x的不等式：f（x）＞

(2k+1)x-k

x-1

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,根的存在性及根的个数判断

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：本题（1）先将方程的根代入方程，得到两个关于参数的方程，解方程得到参数的值；（2）利用（1）的结论，将所解不等式因式分解，再对相应方程根的大小进行分类讨论，得到原不等式的解．

解答： 解：（Ⅰ）将x₁=2，x₂=3代入方程

x2

ax+b

-x-6=0
得

4 2a+b =8 9 3a+b =9

解得

a= 1 2 b=- 1 2

．
∴f(x)=

2x2

x-1

(x≠1)．
（Ⅱ）不等式即为

2x2

x-1

＞

(2k+1)x-k

x-1

，可化为

2x2-(2k+1)x+k

x-1

＞0
∴（x-1）（2x-1）（x-k）＞0．即(x-1)(x-

1

2

)(x-k)＞0．
当

1

2

＜k＜1，解集为x∈(

1

2

，k)∪(1，+∞)．
当k=1，不等式为(x-1)2(x-

1

2

)＞0，解集为x∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)；
当k＞1，解集为x∈(

1

2

，1)∪(k，+∞)．
综上，当

1

2

＜k＜1，解集为x∈(

1

2

，k)∪(1，+∞)．
当k=1，解集为x∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)；
当k＞1，解集为x∈(

1

2

，1)∪(k，+∞)．

点评：本题考查了方程根概念、三次不等式的解法，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．