Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=3，2a_n+1=3a_n-a_n-1（n∈N^*且n≥2），若b_n+1=a_n+1-a_n，
（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整数m，n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：常规题型,压轴题,分类讨论

分析：（I）利用数列{b_n}与数列{a_n}项之间的关系整体找寻相邻项之间的关系是解决本题的关键，先求出等比数列{b_n}的通项公式，在利用数列{b_n}与数列{a_n}项之间的关系确定出数列{a_n}的通项公式；
（II）利用相邻项之间的关系，将所求解的不等式进行转化变形是解决本题的关键．通过数列的单调性转化为整数m与数列项的关系进一步确定出所有正整数m，n的值．

解答： 解：（I）由2a_n+1=3a_n-a_n-1变形得2a_n+1-2a_n=a_n-a_n-1（n≥2），故2b_n+1=b_n
故{b_n}是以a₂-a₁为首项，

1

2

为公比的等比数列．
a_n+1-a_n=(

1

2

)n-1
由累加法得a_n-a₁=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

，故a_n=4-(

1

2

)n-2．
（II）要使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

则

an-m

an+1-m

-

2

3

＜0，∴

3an-3m-2an+1+2m

3(an+1-m)

＜0
又2a_n+1=3a_n-a_n-1，则有

an-1-m

an+1-m

＜0，（n≥2）
又a_n=4-(

1

2

)n-2是单调递增数列，故a_n+1＞a_n-1
∴a_n+1＞m＞a_n-1（n≥2），即

m＞a n-1 m＜an+1

当n=2，解得2＜m＜3.5．即m=3．
当n≥3时，

m＞a n-1≥3 m＜an+1＜4

，即3＜m＜4，不合题意．
另当n=1，

an-m

an+1-m

＜

2

3

，

a 1-m

a2-m

＜0，解得0＜m＜3，即得m=1，2
总上所述：满足条件的正整数m，n为：
当n=1，m=1或2，当n=2时，m=3．

点评：本题考查数列的递推关系确定数列通项公式的方法，利用整体思想确定出数列满足的递推关系，从而确定数列是哪一类特殊数列．考查学生的累加法求通项公式．考查学生分式不等式的求解方法，体现解题的转化与化归思想．