Question

如图，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切，记其中一个圆的半径为x，两圆的面积之和为S，将S表示为x的函数，求函数S=f（x）的解析式及f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题

分析：首先设另一个圆的半径，通过分析两个圆内切时半径最大，从而求出定义域；然后根据图象分析面积之和的函数，并求出最大值和最小值．

解答： 解：设另一个圆的半径为y，则

2

x+x+

2

y+y=

2

⇒(

2

+1)(x+y)=

2

⇒x+y=

2

2 +1

=2-

2

，
∴S=f(x)=π(x2+y2)=π[x2+(2-

2

-x)2]=π[2x2-2(2-

2

)x+(6-4

2

)]=π[2(x-

2- 2

2

)2+(3-2

2

)]，
因为当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，
所以函数的定义域为{x|

3

2

-

2

≤x≤

1

2

}
因为

2- 2

2

∈[

3

2

-

2

，

1

2

]，
所以Smin=π(3-2

2

)；
因为f(

3

2

-

2

)=f(

1

2

)=

3

2

(3-2

2

)，
所以Smax=

3π

2

(3-2

2

)，
所以函数S=f（x）的值域为[π(3-2

2

)，

3π

2

(3-2

2

)]．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．这里需要对两圆关系进行仔细分析，防止误判．同时需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．