Question

16．如图在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB=1弧度，圆C是扇形AOB的内切圆，圆C与OA切于T点．
（1）求圆C的半径r；
（2）求证：|$\overrightarrow{OT}$|=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）；
（3）设P点为圆C上一动点，当（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞最大时，试比较|$\overrightarrow{AP}$|与|$\overrightarrow{OT}$|的大小．

Answer 1

分析 （1）直接通过求解直角三角形得圆C的半径r；
（2）求解直角三角形可得|$\overrightarrow{OT}$|=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）；
（3）把（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞转化为三角形OAP的面积分析，可知当三角形OAP面积最大时，（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞最大．由此比较出|$\overrightarrow{AP}$|与|$\overrightarrow{OT}$|的大小．

解答 （1）解：在Rt△OTC中，sin$\frac{1}{2}$=$\frac{r}{1-r}$，则r=$\frac{sin\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$；
（2）证明：由图可知，tan$\frac{1}{2}$=$\frac{r}{|\overrightarrow{OT}|}$，
∴|$\overrightarrow{OT}$|=$\frac{r}{tan\frac{1}{2}}=\frac{\frac{sin\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}}{tan\frac{1}{2}}$=$\frac{cos\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$，
∵tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）=tan$\frac{\frac{π}{2}-\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}-\frac{1}{2}）}{1+cos（\frac{π}{2}-\frac{1}{2}）}$=$\frac{cos\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$，
∴|$\overrightarrow{OT}$|=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{4}$）；
（3）解：由（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{AP}|•cos$＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞
=$|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{AP}|sin$＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{1}{2}$S_△OAP，
∴当P为TC的延长线与圆的交点时，（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AP}$）•tan＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AP}$＞最大．
∵$\frac{cos\frac{1}{2}}{1+sin\frac{1}{2}}$$＞\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|＜|$\overrightarrow{OT}$|．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了直角三角形的求解方法，考查数学中思想方法，属中档题．