Question

14．已知函数f（x）=sinx-bcosx（其中b为实数）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，且?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，则下列结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到的函数是偶函数
• B． 不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等号时|x₁-x₂|的最小值为2π
• C． 函数f（x）的图象的一个对称中心为（$\frac{2}{3}$π，0）
• D． 函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，π]上单调递增

Answer 1

分析 利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由函数f（x）=sinx-bcosx（其中b为实数）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，可得f（-$\frac{π}{3}$）=f（0），
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$b=-b，∴b=$\sqrt{3}$，∴f（x）=sinx-bcosx=sinx-$\sqrt{3}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
把函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到的函数为y=2sinx的图象，不是偶函数，故排除A；
函数f（x）的周期为2π，最大值为2，最小值为-，2，不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等号时|x₁-x₂|的最小值为2π，故B正确；
令x=$\frac{2π}{3}$，求得f（x）=$\sqrt{3}$≠0，故C错误；
在区间[$\frac{π}{6}$，π]上，x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）没有单调性，故D错误，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．