Question

4．已知不等式x²-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＞1}
（1）求实数a，b的值；
（2）若0＜x＜1，f（x）=$\frac{a}{x}+\frac{b}{1-x}$，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得方程x²-5ax+b=0的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得5a=1+4，b=1×4，解可得a、b的值；
（2）由（1）知f（x）的解析式，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，不等式x²-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＞1}，
则方程x²-5ax+b=0的两个根是1和4，
则有5a=1+4，b=1×4，
即a=1，b=4；
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$，
因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，所以$\frac{1}{x}＞0，\frac{4}{1-x}＞0$
所以$f（x）=\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}=（{\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}}）[{x+（{1-x}）}]$=$5+\frac{1-x}{x}+\frac{4x}{1-x}$$≥5+2\sqrt{\frac{1-x}{x}•\frac{4x}{1-x}}$=9
当且仅当$\frac{1-x}{x}=\frac{4x}{1-x}$，即$x=\frac{1}{3}$时，等号成立．所以f（x）的最小值为9．

点评 本题考查一元二次不等式的解法以及基本不等式的应用，关键是求出a、b的值．