Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B=C，2sinA=3sinB．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）求cos（2A-$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得b=c=$\frac{2}{3}$a，将其代入余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$中计算可得答案，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosA的值，计算可得sinA的值，由二倍角公式计算可得sin2A与cos2A的值，将其代入cos（2A-$\frac{π}{6}$）=cos2Acos$\frac{π}{6}$+sin2Asin$\frac{π}{6}$中计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，2sinA=3sinB，又由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，则b=$\frac{2}{3}$a，
又由B=C，即b=c=$\frac{2}{3}$a，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{4{a}^{2}}{9}+\frac{4{a}^{2}}{9}-{a}^{2}}{2×\frac{2a}{3}×\frac{2a}{3}}$=-$\frac{1}{8}$；
（Ⅱ）由Ⅰ可得：cosA=-$\frac{1}{8}$，则sinA=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
则sin2A=2sinA•cosA=-$\frac{3\sqrt{7}}{32}$，
cos2A=2cos²A-1=-$\frac{31}{32}$，
cos（2A-$\frac{π}{6}$）=cos2Acos$\frac{π}{6}$+sin2Asin$\frac{π}{6}$=-$\frac{31\sqrt{3}+3\sqrt{7}}{64}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦、余弦定理的应用，关键是求出cosA的值．