Question

设对任意的n∈N^*，a_n=

n

3

π-

π

12

，b_n=sina_n•sina_n+2，c_n=b_nxⁿ（x∈R）
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

n

3

π-

π

12

得到a_n+3，代入

bn+1

bn

可得数列{b_n}是等比数列，公比为1；
（2）对x分类求解数列{c_n}的前n项和S_n，当x=0时，数列{c_n}为常数列0，0，0，…；当x=1时，数列{c_n}，为非0常数列；当x≠0且x≠1时，由等比数列的前n项和得答案．

解答： （1）证明：∵a_n=

n

3

π-

π

12

，
∴an+3=

(n+3)π

3

-

π

12

=

nπ

3

-

π

12

+π，
∴sinan+3=sin(

nπ

3

-

π

12

+π)=sin(

nπ

3

-

π

12

)=sinan，
又b_n=sina_n•sina_n+2，
∴b₁=sina₁•sina₃=sin

π

4

•sin

11π

12

=

3 -1

4

．

bn+1

bn

=

sinan+1•sinan+3

sinan•sinan+2

=

sinan+3

sinan

=1．
∴数列{b_n}是等比数列，公比为1．
∴bn=

3 -1

4

；
（2）解：由c_n=b_nxⁿ=

3 -1

4

xn，
当x=0时，c_n=0，
∴S_n=0；
当x=1时，cn=

3 -1

4

，
∴Sn=

3 -1

4

n；
当x≠0且x≠1时，{c_n}为等比数列，且公比q=x，
∴Sn=

3 -1

4

•

x(1-xn)

1-x

．

点评：本题考查了三角函数的诱导公式，考查了等比数列的确定，考查了等比数列的前n项和公式，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．