Question

已知抛物线C：y²=x与直线l：y=kx+

3

4

，试问C上能否存在关于直线l对称的两点？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设A（a²，a），B（b²，b），设AB的斜率为k′，k′=-

1

k

，由已知条件推导出b=-k-a，设M（m，n），由已知条件推导出m=

k2-2ab

2

，n=

a+b

2

=-

k

2

，由此能求出实数k的取值范围．

解答： 解：设两点存在，分别为A（a²，a），B（b²，b），设AB的斜率为k′，k′=-

1

k

，
∴k′=

a-b

a2-b2

=

1

a+b

=-

1

k

，
∴a+b=-k，b=-k-a，
设M（m，n），则m=

a2+b2

2

=

(a+b)2-2ab

2

=

k2-2ab

2

，
n=

a+b

2

=-

k

2

，
-

k

2

=k•

k2-2ab

2

+

3

4

，-2k=2k³-4ka（-k-a）+3，
4ka²+4k²a+2k³+2k+3=0，
△=（4k²）²-4•4k（2k³+2k+3）=-16k（k+1）（k²-k+3）＞0，
∵k²-k+3=（k-

1

2

）²+

11

4

＞0，
∴-k（k+1）＞0，解得-1＜k＜0
∴实数k的取值范围是（-1，0）．

点评：本题考查满足条件的直线是否存在的判断，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．