Question

给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；
③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；
④对任意实数x，有f（-x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．
其中的真命题是

 

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用命题的否定即可判断出；
②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；
③在△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA＞sinB．
④利用偶函数的性质即可得出．

解答： 解：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，正确；
②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，
由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；
③在△ABC中，由A＞B?a＞b，由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，
因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；
④对任意实数x，有f（-x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．
由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．
综上可知：只有①④正确．
故答案为：①④．

点评：本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．