Question

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦长|PQ|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义求出a，点的坐标代入椭圆方程，求出b，即可求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）通过椭圆C的焦点F₂，以及AB的平行线求出直线的斜率，设出PQ的方程，与椭圆联立通过韦达定理利用写出公式，求弦长|PQ|．

解答： 解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，
将点（1，

3

2

）代入椭圆方程得 

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，
解得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
焦点F₁、F₂的坐标分别为（-1，0）和（1，0）
（2）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（0，

3

），∴k_PQ=k_AB=

3

2

，
∴PQ所在直线方程为y=

3

2

（x-1），
由 

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

  得 2x²-2x-3=0，
设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），则x₁+x₂=1，x₁-x₂=-

3

2

，
弦长|PQ|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

7

2

•

7

=

7

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力．