Question

已知函数f（x）=

x2+ax+1，x≥1 ax2+x+1，x＜1

在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）是分段函数，要分x≥1，x＜1两种情况讨论，当x＜1时，又分a=0，a≠0两种情况，综合可得结论．

解答： 解：∵函数f（x）是分段函数，要分x≥1，x＜1两种情况讨论，
当x≥1时，f（x）=x²+ax+1在R上是单调递增函数，
∴f^′（x）=2x+a≥0，解得x≥-

a

2

，而x≥1，∴a≥-2①，
当x＜1时，又分a=0，a≠0两种情况：
Ⅰ：a=0时，f（x）=x+1是增函数，满足题意②；
Ⅱ：a≠0时，f（x）=ax²+x+1是二次函数，根据二次函数的图象及性质，需满足对称轴x=-

1

2a

≥1且a＜0
即

- 1 2a ≥1 a＜0

，解得-

1

2

≤a＜0③
综合①②③得-

1

2

≤a≤0；
故答案为：[-

1

2

，0]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的图象及性质，采用分类讨论的思想解决此题．