Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=K，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），则动点P的轨迹为圆；
③0＜θ＜

π

4

，则双曲线C₁：

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1与C₂：

y2

sin2θ

-

x2

sin2θtan2θ

=1的离心率相同；
④已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）和一动点P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），则点P的轨迹关于原点对称；
其中真命题的序号为

 

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①利用双曲线的定义，即可得出结论；②由题意，OP⊥AB，可得动点P的轨迹为以OP为直径的圆；③求出离心率，即可判断；④化简整理，即可分析其正误．

解答： 解：平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线，①中当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴①不正确；
②由题意，OP⊥AB，∴动点P的轨迹为以OP为直径的圆，正确；
③0＜θ＜

π

4

，则双曲线C₁：

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1与C₂：

y2

sin2θ

-

x2

sin2θtan2θ

=1的离心率相同，都为

1

cos2θ

，正确；
④设P（x，y）为曲线|PF₁|•|PF₂|=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上任意一点，
则P（x，y）关于原点（0，0）的对称点为P′（-x，-y），
∵

(-x+1)2+(-y)2

•

(-x-1)2+(-y)2

=

(x-1)2+y2

•

(x+1)2+y2

=a²（a≠0），
即P′（-x，-y）也在曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上，
∴点P的轨迹曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）关于原点对称，即④正确；
综上所述，正确的是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查圆锥曲线的概念及应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．