Question

4．已知函数f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$）
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若α是锐角，f（$\frac{α}{3}$）=cos2α，求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的性质直接求解f（x）的单调减区间；
（2）根据f（$\frac{α}{3}$）=cos2α，利用和与差公式即可求解sinα-cosα的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$\frac{2}{3}kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}+\frac{2}{3}kπ$，
∴f（x）的单调减区间为[$\frac{2}{3}kπ-\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}+\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z，
（2）由f（$\frac{α}{3}$）=cos2α，即sin（α+$\frac{π}{4}$）=cos2α．
则$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=cos²α-sin²α
得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=（cosα+sinα）（cosα-sinα）
∵α是锐角，
∴cosα+sinα≠0．
∴cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故得sinα-cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的性质的运用和和与差公式的计算．属于基础题．