Question

19．已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n²-（2a_n-1-1）a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-1（n∈N^*）
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推出数列{a_n}是等比数列，然后求解通项公式，利用作差法，然后求解{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）${a_n}^2-（2{a_{n-1}}-1）{a_n}-2{a_{n-1}}=0$变形可得（a_n-2a_n-1）（a_n+1）=0，
即有a_n=2a_n-1或a_n=-1，
又由数列{a_n}各项都为正数，则有a_n=2a_n-1，
故数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为2的等比数列，则${a_n}={2^{n-1}}$…（3分）
由题意知，当n=1时，b₁=b₂-1，故b₂=2，
当n≥2时，${b_1}+\frac{1}{2}{b_2}+\frac{1}{3}{b_3}+…+\frac{1}{n-1}{b_{n-1}}={b_n}-1$，
和b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-1（n∈N^*）
作差得，$\frac{1}{n}{b_n}={b_{n+1}}-{b_n}$，整理得：$\frac{{b}_{n}}{n}=\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$，∴$\frac{{b}_{n}}{n}=…=\frac{{b}_{1}}{1}$=1，∴b_n=n
∴${a_n}={2^{n-1}}$；b_n=n，n∈N^*…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}{b_n}=n•{2^{n-1}}$，
因此${T_n}=1+2•2+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，
∴$2{T_n}=1•2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$，
两式作差得：$-{T_n}=1+2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}=-1-（1-n）•{2^n}∴{T_n}=（n-1）•{2^n}+1（n∈{N^*}）$…（12分）．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．