Question

16．设函数f（x）=a|x-2|+x．
（1）若函数f（x）有最大值，求a的取值范围；
（2）若a=1，求不等式f（x）＞|2x-3|的解集．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函数的形式，结合题意得到关于a的不等式，解出即可；
（2）设g（x）=f（x）-|2x-3|，通过讨论x的范围，求出g（x）的分段函数的形式，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{1-a}）x+2a，x＜2\\（{1+a}）x-2a，x≥2\end{array}\right.$，
∵f（x）有最大值，∴1-a≥0且1+a≤0，
解得a≤-1，最大值为f（2）=2．
（2）即|x-2|-|2x-3|+x＞0，
设$g（x）=|{x-2}|-|{2x-3}|+x=\left\{\begin{array}{l}2x-1，x＜\frac{3}{2}\\-2x+5，\frac{3}{2}≤x≤2\\ 1，x＞2\end{array}\right.$，
由g（x）＞0解得$x＞\frac{1}{2}$，原不等式的解集为$\left\{{x\left|{x＞\frac{1}{2}}\right.}\right\}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．