Question

19．已知函数f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求函数的最小正周期，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函数f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$（x∈R）．
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$⇒$2x+\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．
当$2x+\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为$-\frac{1}{2}$．
$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为1．
∴函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$上的最大值为1，最小值为$-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．