题目内容

（1）设f（x）=
e x-e -x
2
 ，g（x）=
ex+e-x
2
，证明：f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）若xlog34=1，求4x+4-x的值．
考点：对数的运算性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）利用指数的运算性质即可得出；
（2）利用对数的运算性质和对数恒等式即可得出．
解答： （1）证明：∵f(2x)=
e2x-e-2x
2
，
2f(x)g(x)=2•
ex-e-x
2
•
ex+e-x
2
=
e2x-e-2x
2
，
∴f（2x）=2f（x）•g（x）．
（2）解：∵xlog34=1，∴x=log43，
由对数的定义及性质得4x=3，4-x=4log4
1
3
=
1
3
，
∴4x+4-x=
10
3
．
点评：本题考查了指数的运算性质、对数的运算性质和对数恒等式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax+x2-xlnx（a＞1）
（1）求函数f（x）单调递增区间；
（2）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
已知a，b∈R，函数f（x）=ax2+
b
x
（x∈R，x≠0）在x=1时有极小值
3
2
．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
已知：f（x）=
1
2
x2-（a2+2）x+（a2+1）lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
已知在函数f（x）=mx3-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
π
4
．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-2013对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+
1
2t
），（x∈R，t＞0）．
某部门为了了解用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，因某天统计的用电量数据丢失，用t表示，如下表：
气温（℃）181310-1
用电量（度）24t3864
（1）由以上数据，求这4天气温的标准差（结果用根式表示）．
（2）若用电量与气温之间具有较好的线性相关关系，回归直线方程为
y
=-2x+b，且预测气温为-4℃时，用电量为2t度．求t、b的值．
学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=
3
4+a•2-t
•100%（其中f（t）为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%．
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）若定义
f(t)
2t-1
为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t∈（1，2）时，学习效率最佳．当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．
如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，AP与CB的延长线交于点P，若AP=8，PB=4，求AC的长度．
设f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a，b（a≤b），
有下列四个命题：
①af（a）≤bf（b）；
②af（a）≥bf（b）；
③af（b）≥bf（a）；
④af（b）≤bf（a）中，
真命题的个数是
 
．

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