Question

已知a，b∈R，函数f（x）=ax²+

b

x

（x∈R，x≠0）在x=1时有极小值

3

2

．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求出f′（x），由在x=1时有极小值

3

2

．所以代入y和y′=0中得到关于a、b的方程组，求出a、b即可；
（2）分别由由f′（x）＞0，f′（x）＜0求出单调递增，单调递减区间．

解答： 解：（1）f′（x）=2ax-

b

x2

，由已知，f′（1）=0，f（1）=

3

2

，解得a=

1

2

，b=1．
（2）由（1）得f（x）=

1

2

x²+

1

x

，f′（x）=x-

1

x2

，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜0或0＜x＜1．
所以函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（-∞，0），（0，1]．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，考查学生利用导数研究函数单调性的能力，