题目内容
设f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a，b（a≤b），
有下列四个命题：
①af（a）≤bf（b）；
②af（a）≥bf（b）；
③af（b）≥bf（a）；
④af（b）≤bf（a）中，
真命题的个数是 ．
有下列四个命题：
①af（a）≤bf（b）；
②af（a）≥bf（b）；
③af（b）≥bf（a）；
④af（b）≤bf（a）中，
真命题的个数是
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：构造函数g（x）=
（x＞0）．利用导数和已知xf′（x）≤f（x），即可得出单调性，进而判断出．
| f(x) |
| x |
解答：
解：∵xf′（x）≤f（x），
令g（x）=
（x＞0）．
则g′（x）=
≤0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵0＜a≤b，
∴g（a）≥g（b），
∴
≥
，
即bf（a）≥af（b）．
只有④正确．
故答案为：1．
令g（x）=
| f(x) |
| x |
则g′（x）=
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵0＜a≤b，
∴g（a）≥g（b），
∴
| f(a) |
| a |
| f(b) |
| b |
即bf（a）≥af（b）．
只有④正确．
故答案为：1．
点评：本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性的方法，考查了推理能力，属于中档题．
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