Question

若曲线y=

1-ex，x≤1 1 x-1 ，x＞1

与直线y=kx+1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A、(-3-2

  2

  ，-3+2

  2

  )
• B、(-3+2

  2

  ，0)∪(0，+∞)
• C、(-∞，-3-2

  2

  )∪(0，+∞)
• D、(-3-2

  2

  ，0)∪(0，+∞)

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：作出曲线y=

1-ex，x≤1 1 x-1 ，x＞1

的图象如图：

直线y=kx+1过定点（0，1），
当k=0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，
当k＞0时，两个函数有2个交点，满足条件，
当k＜0时，直线y=kx+1与y=

1

x-1

在x＞1相切时，两个函数只有一个交点，
此时

1

x-1

=kx+1，即kx²+（1-k）x-2=0，
判别式△=（1-k）²+8k=0，k²+6k+1=0，
解得：k=-3+2

2

，或k=-3-2

2

（舍去），
则此时满足-3+2

2

＜k＜0，
综上满足条件的k的取值范围是（-3+2

2

，0）∪（0，+∞），
故选：B．

点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．