Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1．a₁，a₃是方程x³-3x+2=0的两根．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{2n•a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由方程x²-3x+2=0，解得x=1，2，由于等比数列{a_n}的公比q＞1．a₁，a₃是方程x³-3x+2=0的两根．可得a₁=1，a₃=2．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）2n•a_n=2n•(

2

)n-1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）由方程x²-3x+2=0，解得x=1，2，
∵等比数列{a_n}的公比q＞1．a₁，a₃是方程x³-3x+2=0的两根．
∴a₁=1，a₃=2．
∴2=1×q²，
解得q=

2

，
∴an=(

2

)n-1．
（II）2n•a_n=2n•(

2

)n-1，
∴S_n=2+2×2×

2

+2×3×(

2

)2+…+2n×(

2

)n-1，

2

Sn=2

2

+2×2(

2

)2+…+2(n-1)×(

2

)n-1+2n(

2

)n，
∴(1-

2

)Sn=2+2[

2

+(

2

)2+…+(

2

)n-1]-2n(

2

)n=2+2×

2 [( 2 )n-1-1]

2 -1

-2n(

2

)n，
∴S_n=6+4

2

+2[(

2

+1)n-3-2

2

](

2

)n．

点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．