Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=λa_n-

n

λ+1

，（λ≠±1，n∈N^*）．
（Ⅰ）如果λ=0，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果λ=2，求证：数列{an+

1

3

}为等比数列，并求S_n；
（Ⅲ）如果数列{a_n}为递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）如果λ=0，根据数列的递推关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果λ=2，根据等比数列的定义利用构造法即可证明数列{an+

1

3

}为等比数列，并求S_n；
（Ⅲ）求出数列{a_n}的通项公式，利用数列的单调性即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）λ=0时，S_n=-n，
当n=1时，a₁=S₁=-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-1，
所以a_n=-1． …（3分）
（Ⅱ）证明：当λ=2时，S_n=2a_n-

n

3

，
S_n+1=2a_n+1-

n+1

3

，
相减得a_n+1=2a_n+

1

3

．
所以a_n+1+

1

3

=2（a_n+

1

3

）．
又因为a₁=

1

3

，a₁+

1

3

=

2

3

，
所以数列{an+

1

3

}为等比数列，
所以a_n+

1

3

=

2n

3

，S_n=2a_n-

n

3

=

2n+1

3

-

n+2

3

． …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，显然λ≠0
当n=1时，则S₁=λa₁-

1

λ+1

，得a₁=

1

λ2-1

．
当n≥2时，S_n=λa_n-

n

λ+1

，
S_n-1=λa_n-1-

n-1

λ+1

，
相减得a_n=

λ

λ-1

a_n-1+

1

λ2-1

，
即a_n+

1

λ+1

=

λ

λ-1

（a_n-1+

1

λ+1

）．
因为λ≠±1，所以a₁+

1

λ+1

=

λ

λ2-1

≠0．
所以{a_n+

1

λ+1

}为等比数列．
所以a_n=

λ

λ2-1

（

λ

λ-1

）^n-1-

1

λ+1

=

1

λ+1

（

λ

λ-1

）ⁿ-

1

λ+1

．
因为数列{a_n}为递增数列，
所以

1 λ+1 ＞0 λ λ-1 ＞1

或 

1 λ+1 ＜0 0＜ λ λ-1 ＜1

，
所以λ的取值范围是λ＞1或λ＜-1． …（13分）

点评：本题主要考查递推数列的应用，数列的通项公式和前n项和的求解，考查学生的推理和运算能力，综合性较强，运算量较大．