Question

6．若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=0，
即1+$\sqrt{2}$cosθ=0，
即cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π
∴θ=$\frac{3π}{4}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．