Question

18．在边长为4的等边三角形OAB内部任取一点P，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影为|OQ|，又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=|OA|•|OQ|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4，则|OQ|≤1．

解答 解：如图，

设$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影为|OQ|，又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=|OA|•|OQ|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4，则|OQ|≤1；
即$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影小于等于1，作OP中点M，MN⊥OA于N，
∴满足条件的P的区域为上图阴影部分，N为OA四等分点，
∴使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$≤4的概率为：$\frac{{S}_{△OMN}}{{S}_{△OBA}}$=$\frac{1}{8}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，几何概型的概率问题，属于中档题