已知函数f(A＞0.ω＞0.-$\frac{π}{2}$＜φ＜0)图象的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$.且该函数图象的一个最高点为．的解析式和单调增区间,(2)若f(x0)=2(x0∈.求x0的取值集合,(3)若对区间[$\frac{π}{4}$.$\frac{π}{2}$]内的任意实数x1.x2.都有|f(x1)-f(x2)|＜m成立.求实数m的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）图象的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，且该函数图象的一个最高点为（$\frac{5π}{12}$，4）．
（1）求函数f（x）的解析式和单调增区间；
（2）若f（x₀）=2（x₀∈（0，2π）），求x₀的取值集合；
（3）若对区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]内的任意实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m成立，求实数m的取值范围．

分析（1）根据对称轴的距离得出周期，由最大值得出A，代入最高点坐标解出φ；
（2）根据正弦函数的性质得出2x₀-$\frac{π}{3}$的值，结合x₀的范围解出x₀；
（3）求出f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上最大值与最小的差即可．

解答解：（1）∵f（x）的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
∵f（x）的最高点纵坐标为4，∴A=4．
∵f（$\frac{5π}{12}$）=4，∴4sin（$\frac{5π}{6}+$φ）=4，
∴$\frac{5π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}+kπ$．
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵f（x₀）=4sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=2，∴sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
∴2x₀-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或2x₀-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}+2kπ$．即x₀=$\frac{π}{4}+kπ$或x₀=$\frac{7π}{12}+kπ$．
∵x₀∈（0，2π）），
∴x₀的取值集合为{$\frac{π}{4}$，$\frac{7}{12}$，$\frac{5π}{4}$，$\frac{19π}{12}$}．
（3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时f（x）取得最小值2，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时f（x）取得最大值4．
∴对区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]内的任意实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2．
∴m的取值范围是（2，+∞）．