Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明CD⊥AE；
（2）证明PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE；
（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；
（3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A-PD-C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值．

解答： （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AC⊥CD，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，
∴CD⊥AE；
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD∴PA⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD∴AB⊥PD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中点∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE；
（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，
由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，
则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，
则∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
设AC=a，AD=

a

cos30°

=

2a

3

，PA=A，PD=

a2+ 4a2 3

=

21

3

a，
AM=

PA•AD

PD

=

a• 2a 3

21 3 a

=

2a

7

，
在Rt△AEM中，AE=

2

2

a，EM=

AM2-AE2

=

4a2 7 - 1 2 a2

=

14

14

a，
则tan∠AME=

AE

EM

=

2 2 a

14 14 a

=

7

．

点评：本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理能力，属于中档题．