Question

15．已知二项式（x-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$项的系数为20，则${∫}_{a}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用二项式定理求出a的值，然后根据积分公式即可得到结论．

解答 解：二项式二项式（x-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的通项为（-a）^rC₆^rx${\;}^{6-\frac{3r}{2}}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=$\frac{3}{2}$，解得r=3，
∴（-a）³C₆³=20，
解得a=-1，
∴${∫}_{a}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的二分之一，
故${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查二项式定理以及的定积分的计算，要求熟练掌握相应的公式．