题目内容

已知函数f（x）满足对任意的x∈R都有f（
1
2
+x）+f（
1
2
-x）=1成立，则f（
1
8
）+f（
2
8
）+…+f（
7
8
）=
 
．
考点：函数的值
专题：函数的性质及应用
分析：由题意得两个式子相加可得[f（
1
8
）+f（
7
8
）]+[f
2
8
）+f（
6
8
）]+…+[f（
7
8
）+f（
1
8
）]=2M，利用f（
1
2
+x）+f（
1
2
-x）=1，推出f（
1
8
）+f（
2
8
）+…+f（
7
8
）=7
解答： 解：设f（
1
8
）+f（
2
8
）+…+f（
7
8
）=M…①
所以f（
7
8
）+f（
6
8
）+…+f（
1
8
）=M…②
①+②可得[f（
1
8
）+f（
7
8
）]+[f
2
8
）+f（
6
8
）]+…+[f（
7
8
）+f（
1
8
）]=2M，
因为函数f（x）满足对任意的x∈R都有f（
1
2
+x）+f（
1
2
-x）=1成立
所以7=2M即M=
7
2
，
所以f（
1
8
）+f（
2
8
）+…+f（
7
8
）=
7
2
．
故答案为：
7
2
．
点评：本题考查了利用函数的对称性求和，解决本题的关键是发现函数与和式的对称性，利用倒叙相加法求和．此法在数列部分常见，也是一种求和的重要方法．
练习册系列答案
相关题目
与直线2x-6y+1=0垂直且和函数f（x）=x3-3x相切的直线方程是
 
．
函数f（x）=exln|x|-1的零点的个数是
 
．
用4种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，要求相邻的区域涂色不同，则不同的涂色方法共有
 
种．
若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
 
．
已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别为A，B，与函数y=lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD（　　）
A、平行B、垂直C、不确定D、相交
运行如图所示的程序框图，输出A，B，C的一组数据为 
3
，-1，2，则在两个判断框内的横线上分别应填（　　）
A、垂直、相切
B、平行、相交
C、垂直、相离
D、平行、相切
已知
a
=（2，-2
3
），
b
=（-7，0），则
a
与
b
的夹角为（　　）
A、30°B、60°
C、120°D、150°
在△ABC中，若对任意的λ∈R，都有|
AB
+λ
AC
|≥|
BC
|，则△ABC（　　）
A、一定为锐角三角形
B、一定为钝角三角形
C、一定为直角三角形
D、可以为任意三角形

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