Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（sinx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=$\frac{π}{4}$，边AB=3，求边BC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简，再求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）求出A=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{7π}{12}$，利用正弦定理，求出边BC．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1=2$\sqrt{3}$cosxsinx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
可得函数f（x）的单调减区间[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，∴A=$\frac{π}{6}$，
∵B=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{7π}{12}$，
∴sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∵AB=3，
∴BC=$\frac{3×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积公式、二倍角、辅助角公式，考查正弦定理的运用，属于中档题．