Question

如图，四棱锥V-ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2．
（1）求异面直线AC与VB所成角；
（2）四棱锥V-ABCD的侧面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明AC⊥平面VDB，可得异面直线AC与VB所成角；
（2）证明，△VAD，△VCD是直角三角形，△VAB是直角三角形，△VCB是直角三角形，即可求出四棱锥V-ABCD的侧面积．

解答： 解：（1）四棱锥V-ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，
∴VD⊥AC，BD⊥AC，
∵VD∩BD=D，
∴AC⊥平面VDB，
∴异面直线AC与VB所成角为90°；
（2）由（1）知，△VAD，△VCD是直角三角形，面积为

1

2

×2×2=2，
∵AB⊥AD，AB⊥VD，AD∩VD=D，
∴AB⊥平面VAD，
∴AB⊥VA，
∴△VAB是直角三角形，
同理△VCB是直角三角形，面积都为

1

2

×2×2

2

=2

2

∴四棱锥V-ABCD的侧面积是4+4

2

．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查异面直线AC与VB所成角，证明线面垂直是关键．