Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足下列条件：
①过点（0，9）；②方程f（-x）=f（x）的解为-3，0，3；③在x=-1处取得极大值

32

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性并求出单调区间；
（3）设函数f（x）在区间[t，t+1]（t≤-1）上的最小值为g（t），求g（t）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）由题意得方程组求出a，b，c的值，从而求出函数的解析式；
（2）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（3）通过讨论t的范围，从而表示出函数在区间上的最小值，进而求出g（t）的表达式．

解答： 解：（1）①∵过点（0，9）∴d=9；
②∵f（-x）=f（x）得x（ax²+c）=0，∵-3，0，3是方程的解，∴有9a+c=0，
③f′（x）=3ax²+2bx+c，∵f（x）在x=-1处取得极大值

32

3

，
∴

3a-2b+c=0 -a+b-c+9= 32 3

，
由①②③解得：a=

1

3

，b=-1，c=-3，d=9，
∴f（x）=

1

3

x3-x2-3x+9；
（2）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上单调递增，
当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-1，3）上单调递减；
（3）由（2）得：f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，0）递减，
当-

3

2

≤t＜1时，g（t）=f（x）_min=f（t+1）=

1

3

t³-4t+

16

3

，
当t＜-

3

2

时，g（t）=f（x）_min=f（t）=

1

3

t³-t²-3t+9，
∴g（t）=

1 3 t3-4t+ 16 3 ，(- 3 2 ≤t＜-1) 1 3 t3-t2-3t+9，(t＜- 3 2 )

．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．